[вернуться к содержанию сайта]

    В предыдущей главе мы описали множество явлений, которые показали, что эффекты индукции весьма сложны и интересны. Сейчас мы хотим обсудить основные законы, управляющие этими эффектами. Мы уже определяли э. д. с. в проводящей цепи как полную силу, действующую на заряды, просуммированную по всей длине цепи. Более точно, это тангенциальная компонента силы на единичный заряд, проинтегрированная по всему проводу вдоль цепи. Следовательно, эта величина равна полной работе, совершаемой над единичным зарядом, когда он обходит один раз вокруг цепи.

    Мы дали также “правило потока”, которое утверждает, что э. д. с. равна скорости изменения магнитного потока сквозь такую цепь проводников. Давайте посмотрим, можем ли мы понять, почему это так. Прежде всего рассмотрим случай, когда поток меняется из-за того, что цепь движется в постоянном поле.

    На фиг. 17.1 показана простая проволочная петля, размеры которой могут меняться. Петля состоит из двух частей – неподвижной U-образной части (а) и подвижной перемычки (b), которая может скользить вдоль двух плеч U. Цепь всегда замкнута, но площадь её может меняться. Предположим, что мы помещаем эту петлю в однородное магнитное поле так, что плоскость U оказывается перпендикулярной полю. Согласно правилу, при движении перемычки в петле должна возникать э. д. с, пропорциональная скорости изменения потока сквозь петлю. Эта э. д. с. будет порождать в петле ток. Мы предположим, что сопротивление проволоки достаточно велико, так что токи малы. Тогда магнитным полем от этого тока можно пренебречь.

    Поток через петлю равен wLB, поэтому “правило потока” дало бы для э. д. с. (её обозначим через E)

E=-wB∂L/∂t=-wBv,

где v – скорость смещения перемычки.

    Нам следовало бы понимать этот результат и с другой точки зрения, отправляясь от магнитной силы v×B, действующей на заряды в движущейся перекладине. Эти заряды будут чувствовать силу, касательную к проволоке и равную vB для единичного заряда. Она постоянна вдоль длины w перемычки и равна нулю в остальных местах, поэтому интеграл равен

E=-wvB,

что в точности совпадает с результатом, полученным из скорости изменения потока.

    Приведённое доказательство можно распространить на любой случай, когда магнитное поле постоянно и провода движутся. Можно в общем виде доказать, что для любой цепи, части которой движутся в постоянном магнитном поле, э. д. с. равна производной потока по времени независимо от формы цепи.

    Ну а что произойдёт, если петля будет неподвижна, а магнитное поле изменится? На этот вопрос мы не можем ответить с помощью тех же аргументов. Фарадей открыл (поставив опыт), что “правило потока” остаётся справедливым независимо от того, почему меняется поток.

    Сила, действующая на электрические заряды, в общем случае даётся формулой F=q(E+v×B); новых особых “сил за счёт изменения магнитного поля” не существует. Любые силы, действующие на покоящиеся заряды в неподвижной проволоке, возникают за счёт Е. Наблюдения Фарадея привели к открытию нового закона о связи электрического и магнитного полей: в области, где магнитное поле меняется со временем, генерируются электрические поля. Именно это электрическое поле и гонит электроны по проволоке, и, таким образом, оно-то и ответственно за появление э. д. с. в неподвижной цепи, когда магнитный поток изменяется.

Общий закон для электрического поля, связанного с изменяющимся магнитным полем, такой:

С×E=- ∂B/∂t.                (17.1)

    Мы назовём его законом Фарадея. Он был открыт Фарадеем, но впервые в дифференциальной форме записан Максвеллом в качестве одного из его уравнений. Давайте посмотрим, как из этого уравнения получается “правило потока” для цепей.

    Используя теорему Стокса, этот закон можно записать в интегральной форме

где, как обычно, Г – произвольная замкнутая кривая, a S – любая поверхность, ограниченная этой кривой. Вспомним, что здесь Г – это математическая кривая, зафиксированная в пространстве, а S – фиксированная поверхность. Тогда производную по времени можно вынести за знак интеграла:

    Применяя это соотношение к кривой Г, которая идёт вдоль неподвижной цепи проводников, мы получаем снова “правило потока”. Интеграл слева – это э. д. с, а в правой части с обратным знаком стоит скорость изменения потока, проходящего внутри контура. Итак, соотношение (17.1), применённое к неподвижному контуру, эквивалентно “правилу потока”.

    Таким образом, “правило потока”, согласно которому э. д. с. в контуре равна взятой с обратным знаком скорости, с которой меняется магнитный поток через контур, применимо, когда поток меняется за счёт изменения поля или когда движется контур (или когда происходит и то, и другое). Две возможности – “контур движется” или “поле меняется” – неразличимы в формулировке правила. Тем не менее для объяснения правила в этих двух случаях мы пользовались двумя совершенно разными законами: v×B для “движущегося контура” и С×E=- ∂B/∂t для “меняющегося поля”.

    Мы не знаем в физике ни одного другого такого примера, когда бы простой и точный общий закон требовал для своего настоящего понимания анализа в терминах двух разных явлений. Обычно столь красивое обобщение оказывается исходящим из единого глубокого основополагающего принципа. Но в этом случае какого-либо особо глубокого принципа не видно. Мы должны воспринимать “правило” как совместный эффект двух совершенно различных явлений.

    На “правило потока” мы должны посмотреть следующим образом. Вообще говоря, сила на единичный заряд равна F/q=Е+v×B. В движущихся проводниках сила возникает за счёт v. Кроме того, возникает поле Е, если где-либо меняется магнитное поле. Эти эффекты независимы, но э. д. с. вокруг проволочной петли всегда равна скорости изменения магнитного потока сквозь петлю.

    Здесь мы приведём несколько примеров, частично известных Фарадею, которые показывают, как важно ясно понимать разницу между двумя эффектами, ответственными за возникновение наведённой э. д. с. Наши примеры включают те случаи, когда “правило потока” неприменимо либо потому, что вообще никаких проводов нет, либо потому, что путь, избираемый индуцированными токами, проходит внутри объёма проводника.

    Вначале сделаем важное замечание: та часть э. д. с, которая возникает за счёт поля Е, не связана с существованием физической проволоки (в отличие от части v×B). Поле Е может существовать в пустом пространстве, и контурный интеграл от него по любой воображаемой линии в пространстве есть скорость изменения потока В через эту линию. (Заметьте, что это совсем непохоже на поле Е, создаваемое статическими зарядами, так как в электростатике контурный интеграл от Е по замкнутой петле всегда равен нулю.)

    Теперь опишем случай, когда поток через контур не меняется, а э. д. с. тем не менее существует. На фиг. 17.2 показан проводящий диск, помещённый в магнитное поле и который может вращаться на неподвижной оси. Один контакт приделан к оси, а другой трётся о внешний край диска. Цепь замыкается через гальванометр. Когда диск вращается, “контур” (в смысле места в пространстве, где текут токи) всегда остаётся тем же самым. Но часть “контура” проходит в диске, в движущемся материале. Хотя поток по контуру постоянен, э. д. с. всё же есть, в этом можно убедиться по отклонению гальванометра. Ясно, что здесь перед нами случай, когда за счёт силы v×B в движущемся диске возникает э. д. с., которая не может быть равна изменению потока.

    В качестве обратного примера мы сейчас рассмотрим несколько необычный случай, когда поток через “контур” (снова в смысле того места, где текут токи) изменяется, а э. д. с. отсутствует. Представим себе две металлические пластины со слегка изогнутыми краями (фиг. 17.3), помещённые в однородное магнитное поле, перпендикулярное их плоскости. Каждая пластина присоединена к одному из полюсов гальванометра, как показано на фигуре. Пластины образуют контакт в одной точке P, так что цепь замкнута. Если теперь повернуть пластины на небольшой угол, точка контакта сдвинется в P'. Если мы вообразим, что “цепь” замкнута внутри пластин по пунктирной линии, то по мере поворота пластины взад и вперёд магнитный поток через этот контур изменяется на большую величину. Но поворот может произойти от незначительного движения, тогда v×B очень мало и э. д. с. практически отсутствует. В этом случае “правило потока” бессильно. Оно справедливо лишь для контуров, материал которых остаётся неизменным. Когда материал контура меняется, приходится обращаться снова к основным законам. Правильное физическое содержание всегда даётся двумя основными законами:

Дата установки: 14.11.2010
[вернуться к содержанию сайта]

W